以边长总和永远小于圆周。

祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割 计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但 他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切 割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求 得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到 三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已 不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大

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于3.1415926 ，圆周率的实际数值就在其中。祖冲之提出的“约率” 和

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“密率”　虽然均比圆周率的实际数值为大，但前者约大千分之四，后者

133 大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。

要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道， 在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是 一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。 通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位 数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在 纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计 算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹 被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的 数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多 个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计 算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些 计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝 时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重 新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地 重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。